搜索插入位置

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搜索插入位置 给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 $O(logn)$ 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5 输出: 2 示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2 输出: 1 示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7 输出: 4

提示:

1 <= nums.length <= 104

-104 <= nums[i] <= 104

nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组

-104 <= target <= 104

思路和算法

假设题意是叫你在排序数组中寻找是否存在一个目标值，那么训练有素的读者肯定立马就能想到利用二分法在 $O(logn)$ 的时间内找到是否存在目标值。但这题还多了个额外的条件，即如果不存在数组中的时候需要返回按顺序插入的位置，那我们还能用二分法么？答案是可以的，我们只需要稍作修改即可。

考虑这个插入的位置 pos，它成立的条件为：

$$nums[pos-1]<target\le nums[pos]$$

其中$nums$ 代表排序数组。由于如果存在这个目标值，我们返回的索引也是 $pos$，因此我们可以将 两个条件合并得出最后的目标：「在一个有序数组中找第一个大于等于$target$ 的下标」。

问题转化到这里，直接套用二分法即可，即不断用二分法逼近查找第一个大于等于$target$的下标。 下文给出的代码是笔者习惯的二分写法，$\alpha ns$初值设置为数组长度可以省略边界条件的判断，因为 存在一种情况是$target$ 大于数组中的所有数，此时需要插入到数组长度的位置。

搜索插入位置

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        int left = 0, right = n - 1, ans = n;
        while (left <= right) {
            int mid = ((right - left) >> 1) + left;
            if (target <= nums[mid]) {
                ans = mid;
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(logn)$，其中 $n$ 为数组的长度。二分查找所需的时间复杂度为 $O(logn)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。我们只需要常数空间存放若干变量。